群
群由一个非空集合和在该集合上的二元运算构成，并且具有封闭性、结合律、单位元、可逆元
满足交换律的群称为交换群或Abel群
子群
- 假设 $(G, *)$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的一个非空子集，则当 $H$ 对于二元运算 $*$ 亦构成一个群时，称 $(H, *)$ 为 $(G, *)$ 的一个子群
- $H={e}$ 和 $H={G}$ 称为 $G$ 的平凡子群，其余的子群 $H$ 称为 $G$ 的真子群
性质
若 $H$ 是 $Z$ 的真子群，则 $\exists n \in Z^+$，使得 $H=nZ=\lbrace k \cdot n | k \in Z \rbrace$
非空集合 $H$ 是群 $G$ 的子群 $\iff$ $\forall a, b \in H, a \cdot b^{-1} \in H$
设 $\lbrace H_i \rbrace$ 是群 $G$ 的一组子群，则 $\bigcap H_i$ 也是 $G$ 的子群
- 由上一条定理可知
子群的生成理解
详细可以查看维基百科
如果 $S$ 是群 $G$ 的子集，$S$ 不一定构成群，则由 $S$ 所生成的子群 $<S>$ 是 $G$ 中包含所有 $S$ 元素的最小子群，即包含 $S$ 元素的所有子群的交集。如果 $G=<S>$，则我们称 $S$ 生成 $G$，$S$ 中的元素叫做生成元，当 $S$ 中只有一个单一元素 $x$ 的时候，$<S>$ 称为循环群
例子：
模7的简化剩余系构成一个乘法交换群，其所有的子群为 {1}, {1, 6}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}
假如 $S=\lbrace {2, 4} \rbrace$，则 $<S>=\lbrace {1, 2, 4} \rbrace \ne G$ ，因此 $S$ 中的元素不是生成元
如果 $S=\lbrace {3} \rbrace$，则 $<S>=\lbrace {1, 2, 3, 4, 5, 6} \rbrace = G$，因此 $3$ 是生成元，$<S>$ 是循环群
若 $G$ 为交换群，$X=<a_1, a_2, \dots, a_t>$ 是 $G$ 的子集，则
- $G$ 为乘法群时，$<X>=\lbrace a_1^{n_1} \cdots a_t^{n_t} | a_i \in X, n_i \in Z \rbrace$
- $G$ 为乘法群时，$<X>=\lbrace n_1a_1 + \cdots + n_ta_t | a_i \in X, n_i \in Z \rbrace$
俺的一些理解：为了满足封闭性，则若 $a_i \in H_i$，必有 $a_i^t \in H_i$
陪集
- $aH$ 称为 $H$ 在群 $G$ 中的左陪集，如果：
- $a$ 是 $G$ 中的任意元
- $H$ 是 $G$ 的子群
- 右陪集同理
- 若 $H$ 是正规子群，则其左右陪集相等
性质
$aH = bH \iff b^{-1}a \in H$
$H$ 为群 $G$ 的子群，则 $H$ 中不相等的左陪集(右陪集)构成 $G$ 的一个划分，即
$$
G = \bigcup a_iH
$$
商集
- 群 $G$ 的子群 $H$ 的不同左陪集(右陪集)组成的新集合称为 $H$ 在 $G$ 中的商集，记作 $G/H$
- 注：商集是等价类的集合，即商集中的每一个元素都对应一个 $H$ 的陪集
- $G/H$ 中不同左陪集(右陪集)的个数叫做 $H$ 在 $G$ 中的指标，记为 $[G:H]$
性质
- 群 $G$ 有子群 $H$，则
- $|G|=[G:H]|H|$
- 由陪集的性质2即得
- 若 $K$ 是 $H$ 的子群，则 $[G:K]=[G:H][H:K]$
- $|G|=[G:H]|H|$
- $Lagrange$ ：$H$ 是有限群 $G$ 的子群，则 $|H| \; | \; |G|$
- 设 $H$、$K$ 是交换群 $G$ 的两个子群，则：
- $HK$ 是 $G$ 的子群
- $|HK|=|H||K|/|H \bigcap K|$
- $[H:H \bigcap K] \le [G:K]$
正规子群和商群
- 群 $G$ 的子群 $N$ 称为正规子群，如果：
- $\forall a \in G$， $aN=Na$
- $G/H$ 称为群 $G$ 对于子群 $H$ 的商群，如果：
- $H$ 是正规子群
- $G/H$ 具有结合法 $(aH)(bH)=(ab)H$
同态和同构
$f$ 称为 $G$ 到 $G’$ 的一个同态，如果：
- $G$，$G’$ 都是群
- $f$ 是 $G$ 到 $G’$ 的一个映射
- $\forall x \in G$，存在唯一的 $y=f(x) \in G’$
- $\forall x_1=x_2$，有 $f(x_1) = f(x_2)$
- $\forall a, b \in G$，有 $f(ab)=f(a)f(b)$
同态可以理解为保持运算的映射
- $f(ab)$ 是先在 $G$ 中的运算，再对应到 $G’$
- $f(a)f(b)$ 是先对应到 $G’$，再进行 $G’$ 中的运算
$f$ 是单射则称为单同态，$f$ 为满射则称为满同态，$f$ 为双射则称为同构
- 解释
- $G$ 与 $G’$ 同构，记为 $G \cong G’$
性质
$f(e) = e’$
- 即同态将单位元映射到单位元
$f(a^{-1}) = f(a)^{-1}$
- 即同态将逆元映射到逆元
$ker \; f = \lbrace a | a \in G, f(a) = e’ \rbrace$ 是 $G$ 的子群
- $e’$ 是 $G’$ 中的单位元
- $f$ 是单同态 $\iff$ $ker \; f = \lbrace e \rbrace$
$f(G) = \lbrace f(a) | a \in G \rbrace$ 是 $G’$ 子群
- $f$ 是满同态的充要条件是 $f(G) = G’$
同态基本定理
- $ker \; f$ 是 $G$ 的正规子群
- 存在唯一的 $G/ker \; f$ 到 $f(G)$ 的同构
